Teorema de convolución

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En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean

f

g

dos funciones cuya convolución se expresa con $f \ast g$ . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo $\otimes$ ). Sea $\mathcal{F}$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que $\mathcal{F}[f]$ y $\mathcal{F}[g]$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces

$\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi} (\mathcal{F}[f]) \cdot (\mathcal{F}[g])$

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

$\mathcal{F}[f \cdot g]=\frac{\mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g]}{\sqrt{2\pi}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier $\mathcal{F}^{-1}$ , podemos escribir:

$f*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]]$

[editar] Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de $\sqrt{2\pi}$ que son inconvenientes aquí. Sean $f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)$
Sean

F

la transformada de Fourier de

f

G

la transformada de Fourier de

g

$F(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx$

$G(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx$ .

Sea

h

la convolución de

f

g

$h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.$

Nótese que

$\int\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.$

Del teorema de Fubini tenemos que $h\in L^1(\mathbb{R}^n)$ , así que su transformada de Fourier está definida. Sea

H

la transformada de Fourier de

h

$H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\omega}\, dz = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\, dz.$