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miércoles, 5 de octubre de 2011

Teorema de convolución

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En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con  f \ast g . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo \otimes). Sea \mathcal{F} el operador de la transformada de Fourier, con lo que \mathcal{F}[f] y \mathcal{F}[g] son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces
\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi} (\mathcal{F}[f]) \cdot (\mathcal{F}[g])
donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:
\mathcal{F}[f \cdot g]=\frac{\mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g]}{\sqrt{2\pi}}
Aplicando la transformada inversa de Fourier \mathcal{F}^{-1}, podemos escribir:
f*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]]

[editar] Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de \sqrt{2\pi} que son inconvenientes aquí. Sean  f, g \in L^1(\mathbb{R}^n)
Sean F la transformada de Fourier de f y G la transformada de Fourier de g:
F(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx
G(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\omega} \,dx .
Sea h la convolución de f y g
h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.
Nótese que
 \int\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.
Del teorema de Fubini tenemos que h\in L^1(\mathbb{R}^n), así que su transformada de Fourier está definida. Sea H la transformada de Fourier de h:
H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\omega}\, dz = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\, dz.
Obsérvese que  |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\omega}|=|f(x)g(z-x)| y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:
H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\,dz\right)\,dx.
Sustituyendo y = zx; tenemos dy = dz, y por lo tanto:
H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega}\,dx \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy.
Estas dos integrales son las definiciones de F(ω) y G(ω), así que:
H(\omega) = F(\omega) \cdot G(\omega).
Que es lo que queríamos demostrar.

www.youtube.com/watch?v=6F1tvOZF02o&noredirect=1

representacion de señales

REPRESENTACIONES DE FOURIER PARA LAS SEÑALES

Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes tipos de señales. Estas cuatro clases están definidas por las propiedades de periodicidad de una señal y si el tiempo es de tipo continuo o discreto. Las señales periódicas tienen representación en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica a señales periódicas de tiempo continuo mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a señales periódicas de tiempo discreto. Las señales no periódicas tienen representación en forma de transformada. Si la señal es continua en el tiempo y no periódica, la representación es llamada Transformada de Fourier (FT). Si la señal es discreta en el tiempo y no periódica entonces la representación usada es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La siguiente tabla ilustra la relación entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación de Fourier adecuada.

Tiempo
Periódicas
No periódicas
Continuas
Series de Fourier
( FS )
Transformada de Fourier
( FT )
Discretas
Series discretas de Fourier
( DTFS )
Transformada discreta de Fourier
( DTFT)

La siguiente tabla muestra las relaciones matemáticas utilizadas para calcular las representaciones de Fourier.

Tiempo
Periódicas
No periódicas
Continuas
Series de Fourier

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image001.jpg
Transformada de Fourier

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image002.jpg
Discretas
Series discretas de Fourier

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Transformada discreta de Fourier


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La Transformada Discreta de Fourier (DTFS)

La DTFS es la única representación de Fourier que es de valor discreto tanto en el tiempo como en la frecuencia y de esta manera implícitamente conveniente para una implementación computacional en MATLAB. Las expresiones utilizadas para esta representación son fácilmente implementables en MATLAB como archivos. Sin embargo los comandos built-in de MATLAB fft y ifft pueden también ser utilizados para evaluar la DTFS. Dado un vector llamado x de longitud N representando un periodo de una señal periódica  x[n]. el comando:

>> X=fft(x)/N

Produce un vector llamado X de longitud N que contiene los coeficientes de la DTFS. Matlab asume que el periodo evaluado en la señal es desde 0 hasta N-1, de manera que el primer elemento de x y X corresponden a x[0] y X[0] respectivamente, mientras que los últimos elementos corresponden a x[N-1] y X[N-1]. Nótese que la división por N es completamente necesaria, debido a que el comando fft evalúa la siguiente expresión sin realizar la división por N.

  http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image005.gif

Similarmente, dados los coeficientes de una DTFS en un vector llamado X el comando:

>>x=ifft(X)*N

Produce un vector x que representa un periodo de la señal en el tiempo. Nótese que el comando ifft debe estar multiplicado por N para evaluar la siguiente ecuación.

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image006.jpg


Los comandos fft e ifft son computados usando un algoritmo rápido o numéricamente eficiente, conocido como “Fast Fourier Transform”.

Considere el siguiente ejemplo:

Determinar los coeficientes DTFS para la siguiente señal:


http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image007.gif

La señal tiene un periodo de 24, de manera que tan solo se hace necesario definir un periodo y evaluar sobre este periodo la DTFS. Los comandos usados para realizar dicho cálculo son:
>> n = 0:23;
>> x = ones(1,24) + sin( (n * pi / 12) + (3 * pi / 8 ) );
>> X = fft(x)/24;
El resultado teórico del ejemplo es el siguiente:


http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image008.gif


El resultado obtenido mediante los comandos presentados anteriormente es:

X =

  Columns 1 through 5

   1.0000             0.4619 - 0.1913i   0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i

  Columns 6 through 10

  -0.0000 - 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i

  Columns 11 through 15

  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i        0            -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i

  Columns 16 through 20

  -0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i

  Columns 21 through 24

  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.4619 + 0.1913i


Como se puede ver, tres componentes tienen valor diferente de cero.

Un uso común de la transformada de Fourier, es encontrar las componentes frecuenciales de una señal en el dominio del tiempo que esta contaminada con ruido. Considérese dos señales senoidales que tienen frecuencias fundamentales de 50Hz y 120Hz, luego considérese estas señales contaminadas con ruido aleatorio. Los comandos para generar una señal con las especificaciones anteriormente mostradas son los siguientes:


http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image009.jpg 
>> t = 0:0.001:0.6;
>> x = sin ( 2 * pi * 50 * t ) + sin ( 2 * pi * 120 * t );
>> y = x + 2 * randn ( size ( t ) );
>> plot( 1000 * t (1:50), y (1:50) )






Es de gran dificultad identificar las componentes de frecuencia mirando la señal original. Sin embargo al realizar la conversión de esta señal al dominio de la frecuencia, la identificación de estas componentes se hace más sencilla. La conversión de la señal al dominio de la frecuencia se hace calculando la Transformada R ápida de Fourier, tomando para el cálculo los primeros 512 puntos de la señal. El espectro de potencia es una medida de la potencia a varias frecuencias, y este puede ser calculado con los siguientes comandos.

>>Pyy = Y .* conj (Y) / 512;

Para realizar la gráfica se puede tener en cuenta que la información que aparece en el arreglo Pyy es por propiedades de la transformada, simétrica con respecto a la frecuencia media, es decir que si tenemos 512 puntos de muestra, la señal que esta almacenada en el arreglo es simétrica con respecto a la muestra 256, por lo tanto dibujar las ultimas 256 muestras del arreglo será completamente innecesario. De manera que para visualizar el espectro de potencia los comandos deben ser como se muestran a continuación:

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image010.jpg 


>> f = 1000*(0:256)/512;
>> plot(f,Pyy(1:257))






Para ver todas las muestras y entender la característica de simetría descrita anteriormente se pueden utilizar los siguientes comandos:

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/estudiantes/ocala/matlabTut/fourier_archivos/image011.jpg 


>> f = 1000*(0:511)/512;
>> plot(f,Pyy)






Del espectro de potencia se puede visualizar que las componentes con mayor frecuencia se encuentran a los 50 y 120 Hz respectivamente. Comprobando así que las señales de las cuales se formo la señal contaminada con ruido tienen estas frecuencias fundamentales.

Guia 3 MATLAB












lunes, 5 de septiembre de 2011

ruido

Figura II.16. Muestras de ruido.

Se puede apreciar que en todos los casos las representaciones del ruido tienen trayectorias que son aleatorias, difícilmente predecibles, por lo cual es necesario recurrir a modelos probabilísticos para su análisis. Para apreciar realmente lo que es el ruido, conviene "sintonizar" un radiorreceptor en una frecuencia en que no haya ninguna transmisión, preferentemente en AM. Como puede escucharse, existe una especie de "zumbido", que es precisamente el ruido en el canal.
Aunque el ruido puede afectar de diversas maneras una transmisión (sumándose o multiplicándose con la señal que contiene la información), en este libro se analizarán únicamente casos en que el efecto del ruido es aditivo. Esto se ilustra en la figura II.17, donde se muestra una señal binaria (que toma valores positivos o negativos), el ruido en la transmisión y la suma de la señal más el ruido.





Figura II.17. Señal binaria más ruido.

Las ideas anteriores permiten plantear un problema adicional de las telecomunicaciones y que se presenta principalmente en las comunicaciones en que las señales son digitales. Supongamos que se transmite una señal binaria a través de un canal ruidoso, tal como se presenta en la figura II.17, al recibirse la señal en el receptor, la señal que fue transmitida tiene una forma diferente a la que se transmitió. Entonces, una de las principales funciones del receptor consiste en tomar una decisión, basada en la señal distorsionada, acerca de la señal que se transmitió: ¿se trata, en cada instante, de un "1" o se trata de un "0"? Este problema se conoce con el nombre de "detección". El problema de detección también tiene mucha importancia en algunos aspectos de navegación aérea: como será analizado más adelante, el sistema conocido como "radar" (que significa radio detection and ranging, es decir, detección y medición de distancias por radio) consiste en la emisión de pulsos electromagnéticos de duración corta; cuando en su trayectoria encuentran algún obstáculo, parte de la energía se refleja en dicho objeto extraño, y esa energía reflejada, a su vez, es recibida en una central. Como la señal reflejada normalmente contiene poca energía, tiene una amplitud pequeña, que puede ser distorsionada con facilidad por el ruido atmosférico. Entonces es necesario tomar una decisión entre las dos siguientes posibilidades: ¿la señal recibida proviene de una onda reflejada, o se trata únicamente de ruido?

sistemas

Figura II.11. Distorsión por anchos de banda diferentes.

Como parte de esta introducción a las señales y los sistemas, se presentan a continuación algunos problemas interesantes en los sistemas de telecomunicaciones, que se resuelven procesando una señal por medio de algún tipo de sistema: a) Amplificación de una señal. Como ya se vio anteriormente, un amplificador es un sistema que tiene a su salida una réplica de la señal de entrada, cuya amplitud fue amplificada por el sistema.

b)
Suma de señales. Este sistema tiene dos o más señales de entrada, y la salida de este sistema es precisamente la suma de las entradas (figura II.12).







Figura II.12. Suma de señales.


c) Multiplicador de señales. Este sistema, como el anterior, tiene dos o más señales de entrada, y la salida es el producto de ellas. Se conoce también con el nombre de modulador de amplitud (figura II.13), ya que, si una de las señales (de baja frecuencia) multiplica a otra de alta frecuencia (portadora) la salida del sistema genera un espectro igual al de la señal moduladora, pero trasladado a la frecuencia de la portadora. Esto es la base de lo que se conoce como AM (amplitud modulada o modulación de amplitud). En este proceso se "sobrepone" el contenido de información de la señal moduladora sobre otra señal (portadora).






Figura II.13. Modulación en amplitud y en frecuencias.

d) Codificación de la fuente. Este sistema fue mencionado en la introducción, y realiza el procesamiento necesario para convertir una señal analógica (continua en el tiempo y en amplitud) en una señal digital. Este sistema consiste en la conexión en serie de un muestreador, un cuantizador y un codificador (figura II.14).






Figura II.14. Codificador fuente.

e) Filtrado. Por medio de un filtro se eliminan ciertas componentes de frecuencia de una señal. Un ejemplo de esto fue planteado al hablar de la posibilidad de transmitir música por un canal telefónico. Existen diversos tipos de filtros que, dependiendo de la porción del espectro que eliminen, pueden ser paso-bajas (eliminan las frecuencias altas), paso-altas (eliminan las frecuencias bajas), paso-banda (sólo dejan pasar frecuencias dentro de una banda) o supresor de banda (eliminan las componentes dentro de una banda). Estos filtros se ilustran en la figura II.15. Cabe mencionar que, en las figuras, si en alguna o algunas frecuencias la amplitud es cero, esto significa que de la señal de entrada se eliminan todas las componentes en las frecuencias donde esto ocurre, generando de esta manera la señal filtrada.






Figura II.15. Filtros.
Para concluir este capítulo, es indispensable hablar sobre el peor enemigo de las telecomunicaciones: el ruido (a pesar de ser enemigo de las telecomunicaciones, es un aliado de los ingenieros en telecomunicaciones, ya que, de no haber ruido en las transmisiones, no habría ingenieros cuya función fuera eliminar su efecto).
Así como en el lenguaje cotidiano el ruido es aquello que molesta, que perturba, que impide realizar alguna tarea, el "ruido' en las telecomunicaciones es todo aquello que modifica el contenido de información de una señal. Como la fuente desea que la información llegue a su destino lo más parecida a aquella generada por la fuente, el hecho de que se introduzca ruido actúa en contra del proceso de comunicación. El ruido en las telecomunicaciones es, por lo tanto, una distorsión: en el sonido, en el caso de la telefonía; en la imagen, en el caso de la televisión; errores, en el caso de la telegrafía, etc. No es posible hasta el momento tener un sistema de comunicaciones en el cual no haya ruido. Pero, por fortuna, los distintos procesos de ruido en los canales han sido modelados matemáticamente, de manera tal que estos modelos reflejen con verdad la realidad y, por lo tanto, el efecto del ruido pueda ser disminuido. En la figura II.16 se muestran señales que corresponden a muestras de ruido.