ruido

Figura II.16. Muestras de ruido.

Se puede apreciar que en todos los casos las representaciones del ruido tienen trayectorias que son aleatorias, difícilmente predecibles, por lo cual es necesario recurrir a modelos probabilísticos para su análisis. Para apreciar realmente lo que es el ruido, conviene "sintonizar" un radiorreceptor en una frecuencia en que no haya ninguna transmisión, preferentemente en AM. Como puede escucharse, existe una especie de "zumbido", que es precisamente el ruido en el canal.
Aunque el ruido puede afectar de diversas maneras una transmisión (sumándose o multiplicándose con la señal que contiene la información), en este libro se analizarán únicamente casos en que el efecto del ruido es aditivo. Esto se ilustra en la figura II.17, donde se muestra una señal binaria (que toma valores positivos o negativos), el ruido en la transmisión y la suma de la señal más el ruido.

Figura II.17. Señal binaria más ruido.

Las ideas anteriores permiten plantear un problema adicional de las telecomunicaciones y que se presenta principalmente en las comunicaciones en que las señales son digitales. Supongamos que se transmite una señal binaria a través de un canal ruidoso, tal como se presenta en la figura II.17, al recibirse la señal en el receptor, la señal que fue transmitida tiene una forma diferente a la que se transmitió. Entonces, una de las principales funciones del receptor consiste en tomar una decisión, basada en la señal distorsionada, acerca de la señal que se transmitió: ¿se trata, en cada instante, de un "1" o se trata de un "0"? Este problema se conoce con el nombre de "detección". El problema de detección también tiene mucha importancia en algunos aspectos de navegación aérea: como será analizado más adelante, el sistema conocido como "radar" (que significa radio detection and ranging, es decir, detección y medición de distancias por radio) consiste en la emisión de pulsos electromagnéticos de duración corta; cuando en su trayectoria encuentran algún obstáculo, parte de la energía se refleja en dicho objeto extraño, y esa energía reflejada, a su vez, es recibida en una central. Como la señal reflejada normalmente contiene poca energía, tiene una amplitud pequeña, que puede ser distorsionada con facilidad por el ruido atmosférico. Entonces es necesario tomar una decisión entre las dos siguientes posibilidades: ¿la señal recibida proviene de una onda reflejada, o se trata únicamente de ruido?

sistemas

Figura II.11. Distorsión por anchos de banda diferentes.

Como parte de esta introducción a las señales y los sistemas, se presentan a continuación algunos problemas interesantes en los sistemas de telecomunicaciones, que se resuelven procesando una señal por medio de algún tipo de sistema: a) Amplificación de una señal. Como ya se vio anteriormente, un amplificador es un sistema que tiene a su salida una réplica de la señal de entrada, cuya amplitud fue amplificada por el sistema.

b) Suma de señales. Este sistema tiene dos o más señales de entrada, y la salida de este sistema es precisamente la suma de las entradas (figura II.12).

Figura II.12. Suma de señales.

c) Multiplicador de señales. Este sistema, como el anterior, tiene dos o más señales de entrada, y la salida es el producto de ellas. Se conoce también con el nombre de modulador de amplitud (figura II.13), ya que, si una de las señales (de baja frecuencia) multiplica a otra de alta frecuencia (portadora) la salida del sistema genera un espectro igual al de la señal moduladora, pero trasladado a la frecuencia de la portadora. Esto es la base de lo que se conoce como AM (amplitud modulada o modulación de amplitud). En este proceso se "sobrepone" el contenido de información de la señal moduladora sobre otra señal (portadora).

Figura II.13. Modulación en amplitud y en frecuencias.

d) Codificación de la fuente. Este sistema fue mencionado en la introducción, y realiza el procesamiento necesario para convertir una señal analógica (continua en el tiempo y en amplitud) en una señal digital. Este sistema consiste en la conexión en serie de un muestreador, un cuantizador y un codificador (figura II.14).

Figura II.14. Codificador fuente.

e) Filtrado. Por medio de un filtro se eliminan ciertas componentes de frecuencia de una señal. Un ejemplo de esto fue planteado al hablar de la posibilidad de transmitir música por un canal telefónico. Existen diversos tipos de filtros que, dependiendo de la porción del espectro que eliminen, pueden ser paso-bajas (eliminan las frecuencias altas), paso-altas (eliminan las frecuencias bajas), paso-banda (sólo dejan pasar frecuencias dentro de una banda) o supresor de banda (eliminan las componentes dentro de una banda). Estos filtros se ilustran en la figura II.15. Cabe mencionar que, en las figuras, si en alguna o algunas frecuencias la amplitud es cero, esto significa que de la señal de entrada se eliminan todas las componentes en las frecuencias donde esto ocurre, generando de esta manera la señal filtrada.

Figura II.15. Filtros.

Para concluir este capítulo, es indispensable hablar sobre el peor enemigo de las telecomunicaciones: el ruido (a pesar de ser enemigo de las telecomunicaciones, es un aliado de los ingenieros en telecomunicaciones, ya que, de no haber ruido en las transmisiones, no habría ingenieros cuya función fuera eliminar su efecto).
Así como en el lenguaje cotidiano el ruido es aquello que molesta, que perturba, que impide realizar alguna tarea, el "ruido' en las telecomunicaciones es todo aquello que modifica el contenido de información de una señal. Como la fuente desea que la información llegue a su destino lo más parecida a aquella generada por la fuente, el hecho de que se introduzca ruido actúa en contra del proceso de comunicación. El ruido en las telecomunicaciones es, por lo tanto, una distorsión: en el sonido, en el caso de la telefonía; en la imagen, en el caso de la televisión; errores, en el caso de la telegrafía, etc. No es posible hasta el momento tener un sistema de comunicaciones en el cual no haya ruido. Pero, por fortuna, los distintos procesos de ruido en los canales han sido modelados matemáticamente, de manera tal que estos modelos reflejen con verdad la realidad y, por lo tanto, el efecto del ruido pueda ser disminuido. En la figura II.16 se muestran señales que corresponden a muestras de ruido.

sistemas

Se denomina "sistema" al conjunto de componentes o dispositivos del mundo físico que interactúan entre sí, que aceptan señales como entradas, las transforman y generan otras señales a su salida. En la figura II.4 x(t), S[x(t)], y(t), representan, respectivamente, la entrada al sistema, el sistema que transforma la señal de entrada, y la salida del sistema.

Figura II.4. Entrada x(t), sistema S y salida y (t).

Un sistema puede ser visualizado como una caja negra del mundo físico que transforma la señal a su entrada para generar la señal a su salida.
Los siguientes son ejemplos sencillos de sistemas, y en cada caso se identifica cuál es la entrada y cuál la salida: a) Equipo de sonido. La entrada es una señal de música (codificada eléctrica, mecánica u ópticamente) que puede provenir de un disco fonográfico (conocido coloquialmente como LP), una cinta magnética, un disco compacto o una antena de radio; la salida es una señal de audio. De hecho, el equipo de sonido puede ser considerado como un conjunto de sistemas, donde las salidas de unos son las entradas de otros; por ejemplo, el primer sistema puede ser el tocadiscos de CD. Su entrada es una señal grabada precisamente en el CD; esta señal es procesada ópticamente por el sistema, y se genera a la salida una señal eléctrica que a su vez es la entrada del amplificador. La salida del amplificador es una réplica de la entrada. Si además se cuenta con altavoces, entonces la señal eléctrica amplificada es convertida por los altavoces en réplicas acústicas. b) Televisor. La entrada es una señal eléctrica proveniente de una antena, de un cable o de una videograbadora, y la salida es una señal visual en la pantalla del televisor y una señal acústica en los altavoces de éste.

c) Muestreador. Este sistema, mencionado en párrafos anteriores, tiene como entrada una señal continua en el tiempo, y a su salida una señal discreta en el tiempo, donde cada muestra tiene una amplitud igual o proporcional a la de la señal original en el tiempo de muestreo (figura II.5).

Señales

bibliografia

 SEÑALES Y SISTEMAS
Autores: A. V. Oppenheim, A. S. Willsky y S. H. Nawab
Editorial: Prentice-Hall
Año: 1998
Enesta obra se realiza un excelente tratamiento de toda la teoría generalbásica de señales y sistemas. Expone, con una claridad envidiable,todas las propiedades referentes a los sistemas lineales e invariantes,los recursos matemáticos más empleados para facilitar las tareas decálculo y la determinación de propiedades de los sistemas, todo elloacompañado de una selección muy escrupulosa de ejemplos que permiten entodo momento disipar aquella posible duda que aparezca en la teoríaprecedente. Existen temas dedicados al filtrado, a las modulaciones y asistemas realimentados.

Tipos de Señales

Función Impulso
La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se define de la siguiente manera:

• La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero.
• Cuando la t es cero el valor de la función es infinito
• Por definición el área de esta función es igual a uno

Función Delta

La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.

También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento.

Fisicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar esta función como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como cuando un martillo golpea un clavo, o la presencia de un voltaje por un instante muy corto que en terminos de esta función como:

f(t) = 5delta(t)

[editar] Función Escalón Unitario

La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. la integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el escalón unitario.

el tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 o 0. Así pues ésta nos representa la corriente continua disipada en nuestro dispositivo.

Función Escalón Unitario o Heaviside

En el caso de la función escalón, fisicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.

[editar] Función Rampa

La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

[editar] Relación existente entre estas señales

[editar] Relación Impulso / Escalón

Tal como se puede fácilmente demostrar, la función escalón y la función impulso están relacionados de la siguiente manera:

y

[editar] Relación Escalón / Rampa

Visto desde el punto de vista matemático una es la derivada de la otra puesto que; la función rampa se deriva de la función escalón, y ésta a su vez de la impulso. Análogamente igualmente se demuestra que

y

[editar] Señales

Las señales son parte integrante de un todo. Las señales no tienen significado sin sistemas que las interpreten, y los sistemas son inútiles sin señales que procesar.
Este capítulo profundiza en las señales: ¿qué son?, ¿cuáles son? y ¿cuáles son sus propiedades? Estas propiedades se usan para describir características de las señales. También se cubren temas de transformaciones de señales, estas transformaciones son sólo matemáticas (conceptualmente se transforman la señal, no se diseñará un sistema para hacerlo). Por ejemplo la inversión en el dominio del tiempo es una transformación.
Una señal es cualquier fenómeno que puede ser representado de manera cuantitativa mediante una función continua (cuyo dominio es los números reales) o discreta (cuyo dominio es los números enteros). Como ejemplos de señales se tienen: La variación de la presión de aire a la salida de un parlante. La variación de la intensidad electromagnética que llega a una antena receptora. La variación de la temperatura máxima tomada diariamente. Los colores de una imagen digitalizada (pixeles).

[editar] Señales Continuas

Una señal continua es una señal "suave" que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales. Por ejemplo, la función seno es un ejemplo continuo, como la función exponencial o la función constante. Una parte de la función seno en el rango de tiempos de 0 a 6 segundos también es contínua. Si deseamos ejemplos de la naturaleza tenemos la corriente, el voltaje, el sonido, la luz, etc.

[editar] Señales Discretas

Una señal discreta es una señal discontinua que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Su importancia en la tecnología es que, los computadores y microchips que son utilizados en este nuevo mundo "Digital" en el que vivimos, sólo manejan señales discretas. Una señal discreta en la naturaleza podría ser el pulso cardíaco, el rebotar de una pelota al caer libremente, etc.
Si para todos los valores de una variable existe un valor, estamos hablando de una señal continua.

[editar] Parte Par e Impar de una señal

Cualquier señal se puede poner como la suma de una señal par y una señal impar.

Par

Una función par es una función en donde . Es decir, esta función presenta una simetría en torno al eje y.

Impar

Una función impar es una función en donde . Es decir, esta función presenta una simetría respecto al origen del sistema de coordenadas. (Espejo a través de la recta )

Periódica

Una función periódica es aquella que muestra una repetición constante, y no evoluciona con el tiempo cumpliéndose que . Por ejemplo, una onda cuadrada o sinusoidal son ondas periódicas, en tanto que la función no es periódica.

[editar] Transformaciones de Señales Continuas Simples

Escala de la amplitud

Amplificación, Atenuación, Limitación, (falta definir cada una de éstas). Amplificación:es aumentar el "tamaño" de una señal mediante diferentes equipos para poder hacer mediciones y/o operaciones con las señales.

Transformaciones Temporales

Compresión, Expansión y Escalamiento Temporales (falta definir cada una de éstas).

Inversión de Signo de la Señal

Una inversión de signo voltea la señal a lo largo del eje de amplitud. Asi, "los últimos serán los primeros y los primeros serán los últimos." Las tres funciones básicas se modifican como sigue:

• La función impulso queda igual
• La función escalón se transforma en
• La función rampa se transforma en

[editar] Causalidad, Anti-causalidad, No-causalidad

Esta propiedad de las señales esta relacionada con los valores que tomara una señal después de atravesar un sistema.

Causal

Una señal se denomina causal cuando no depende de sus valores en el futuro, y depende de sus valores presentes y/o pasados. Ej: y(t) = x(t − 1) + x(t)

En la naturaleza la mayoria de las señales son causales.

Anti-causal

Una señal se denomina anti-causal cuando no depende de sus valores en el pasado.(falta poner algun ejemplo).

No-causal

Una señal se denomina no-causal cuando sus valores dependen de una señal futura. Ej: y(t) = x( − t)

Sistemas

(t) : Am Muestreadas, xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua.

u

Cuantizada, xQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta.

u

Digital, xQ[n] : Tiempo y Amplitud discretos.

t t

t t

Sistemas:

Los sistemas admiten señales como entradas,

las procesan y entregan señales de salida. En este curso, nos ocuparemos de

señales cuya única variable independiente es el tiempo.

plitud y Tiempo continuos.

u

MATLAB

EJERCICIO #1                                             VARIACION

 

SEÑAL PERIODICA

Consideremos primero la generación de una onda cuadrada de amplitud A, frecuencia fundamental w (medida en radianes por segundo) y ciclo útil rho. Recordemos que el ciclo útil es la fracción de cada periodo en donde la señal es positiva.

Plot = es el comando que dibuja las líneas cuadrado

El siguiente comando genera un vector llamado t de valores que representan la variable tiempo, con un intervalo de muestreo de 1ms entre 0 y 1seg.

t = 0:0.001:1;

Después de creado el vector que representa la variable tiempo, es posible iniciar el desarrollo de alguna señal de interés.

Señal periódica como Onda Cuadrada.

EJERCICIO #2                                             VARIACION

 

En la segunda línea, pi es una función interna de matlab que calcula el número más cercano a la constante PI en formato de coma flotante. El último comando es usado para ver la señal generada. El comando plot dibuja líneas conectando los valores sucesivos de la señal y así da la apariencia de una señal en tiempo continuo.

Consideremos ahora la generación de una onda triangular de amplitud A,  frecuencia fundamental w y ancho Wdt . El periodo de la onda triangular será T con el máximo valor de la señal ocurriendo en t = WT .

El comando básico para generar esta señal es: A * sawtooth(w * t + Wdt)

Señal Periódica Diente de Sierra

EJERCICIO#3                                              VARIACION

 

SEÑALES EXPONENCIALES

Las señales exponenciales se pueden clasificar según su comportamiento en decrecientes y crecientes. 

Para generar una señal exponencial creciente se usa el comando: B * exp( a * t);

Señal Exponencial Creciente

EJERCICIO#4                                              VARIACION

 

. El comando para generar una señal exponencial decreciente es:

 B * exp(-a*t);

En ambos casos el parámetro a es positivo. El siguiente ejemplo muestra la generación de una señal exponencial decreciente:

>> x = B * exp( -a * t ); % señal exponencial decreciente.

Señal Exponencial Decreciente

EJERCICIO#5                                              VARIACION

 

Casos particulares en los que la operación no es el número irracional e, puede ser cualquier otro número. Para estos casos se usa una notación diferente la cual esta basada en la utilización del símbolo ^. Observando el ejemplo que sigue se nota que r es un número mientras que n es un vector, por lo tanto  se usa una combinación del símbolo exponenciación con el carácter “.” Lo cual  significa que a cada valor del vector le será aplicada la función.

El siguiente ejemplo genera la señal: 

Señal Exponencial Discreta

EJERCICIO#6                                              VARIACION

 

SEÑALES SENOISOIDALES.

funcion trigonométricas que pueden ser usadas para generar señales senosoidales. Una señal coseno de amplitud A, frecuencia w0 (medida en radianes por segundo) y ángulo de fase phi (en radianes) se obtiene usando el comando:

A * cos (  w0 * t + phi);

EJERCICIO#7                                              VARIACION

 

Alternativamente se puede usar la función seno para generar una señal senosoidal usando el siguiente comando:

 A * sin ( w0 * t  + phi );

Señal Seno

EJERCICIO#8                                              VARIACION

 

El comando ones(M, N) genera una matriz de unos de tamaño M x N, y el comando zeros(M, N) es una matriz de ceros del mismo tamaño. Una señal de paso uno a uno, puede ser generada con el siguiente comando.

U = [zeros(1, 10), ones(1, 11)];

Para la versión continua creamos un vector que represente el tiempo el cual tenga muestras de un intervalo separados por valores muy pequeños

Señal Escalón Unitario

EJERCICIO#9

 

SEÑAL SENOISOIDAL EXPONENCIAL.

En todos los comandos de generación de señales descritos anteriormente, se ha generado la amplitud deseada de las señales, realizando una multiplicación por un escalar A. Esta operación se describe usando el símbolo asterisco “*”.  Supongamos que se desea multiplicar una señal senosoidal por una señal exponencial para producir como resultado una señal con amortiguación exponencial

Debido a que tanto la componente senosoidal de la señal como la exponencial son vectores, el procedimiento para la generación de la señal final requiere de una multiplicación de dos vectores elemento por elemento. Este tipo de multiplicación se representa usando el símbolo punto (.) seguido por el símbolo asterisco (*). Así el comando para generar la ecuación anterior sería;

A * sin( w0 * t + phi) .* exp ( -a * t)

Señal Senosoidal  Exponencial

EJERCICIO#10                                               VARIACION        

 

La versión discreta de la misma señal se puede obtener haciendo uso de los comandos mostrados anteriormente.

Señal Senosoidal  Aperiodica Discreta

EJERCICIO#11                                            VARIACION

 

Una señal paso A uno, puede ser generada con el siguiente comando.

U = [zeros(1, 10), ones(1, 11)];

Donde el vector pasa con relación al tiempo en intervalos

Señal Paso de Amplitud

EJERCICIO#12                                            VARIACION

 

el comando ones(M, N) genera una matriz de unos de tamaño M x N, y el comando zeros(M, N) es una matriz de ceros del mismo tamaño. La versión discreta de la señal impulso se puede también generar con ayuda de las funciones zeros() y ones().

Es requisito que los vectores n tengan iguales dimensiones.

Señal Impulso Unitario

EJERCICIO#13                                            VARIACION

 

Esta función puede ser creada, como la composición de una recta Y(x) =  x a partir de cero y de la recta Y(x) = 0 para valores de x menores de cero, así.

Señal Rampa Continua

EJERCICIO#14                                            VARIACION

 

Para visualizar una señal en tiempo discreto se puede hacer uso del comando stem. Específicamente stem( n  , x ), bosqueja los datos contenidos en el vector x como una señal de tiempo discreto con los valores de tiempo definidos por el vector n. Los vectores n y x deben tener dimensiones compatibles, es decir deben tener el mismo número de elementos.

El siguiente ejemplo genera una señal cuadrada en tiempo discreto de amplitud igual a la unidad, ciclo útil igual a 50% y una frecuencia angular igual a :

Señal Cuadrada Discreta